Domanda #31 - QuizBase

2025 Quesito

5.Determinare il valore del parametro reale $k$ in modo che le due curve $y = e^{x}$ , $y = 6 - k e^{- x}$ risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.

Soluzione

Due curve sono tangenti se hanno stessa ordinata e stessa derivata nello stesso punto

x_{0}

. Condizione sulle ordinate:

e^{x_{0}} = 6 - k e^{- x_{0}}

. Condizione sulle derivate:

e^{x_{0}} = k e^{- x_{0}}

. Sostituendo la seconda nella prima:

e^{x_{0}} = 6 - e^{x_{0}} \Rightarrow 2 e^{x_{0}} = 6 \Rightarrow e^{x_{0}} = 3

, quindi

x_{0} = \ln 3

y_{0} = 3

. Dalla condizione sulle derivate:

3 = k \cdot (1 / 3) \Rightarrow k = 9

. Punto di contatto:

(\ln 3; 3)

Derivate

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