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«La ragione non è nulla senza l’immaginazione» - Cartesio.

Dati $r>0$ e $k<0$, si considerino la circonferenza $C_r$, di centro l’origine e raggio $r$, e la funzione $f_k\left(x\right)=k\left|x\right|$.

a) Verificare che $f_k$ è continua ma non derivabile in $x=0$ qualunque sia il valore di $k$. Individuare i due valori di $r$ in corrispondenza dei quali $C_r$ delimita con il grafico di $f_k$, per opportuni valori di $k$, un settore circolare nel semipiano $y\le 0$ di area $\pi$ e contorno di lunghezza $4+\pi$. Stabilito che $r=2$ è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento cartesiano $Oxy$, tracciare la circonferenza $C_2$ e il grafico della funzione $f_{-1}$.

b) Studiare la funzione $g\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$, specificandone dominio, simmetrie, punti di non derivabilità, intervalli di monotonia ed insieme immagine. Verificare che il grafico di $g$ coincide con la parte di $C_2$ che si trova nel semipiano $y\ge 0$. Spiegare perché $g$ non è invertibile nel suo dominio ed esplicitare l'intervallo $[a;b]$ di ampiezza massima, con $b>0$, nel quale $g$ ammette una funzione inversa $h$. Qual è l'espressione analitica di $h$?

c) Sia $A$ un punto del grafico di $g$, situato nel I quadrante, e siano $M$ e $R$ le sue proiezioni ortogonali sugli assi del riferimento. Determinare le coordinate di $A$ in modo che il quadrilatero $AMOR$ abbia area massima. Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato, dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.

d) Si consideri la funzione $F\left(x\right)={\int }_{-2}^x\sqrt{4-t^2}dt$, con $x\in [-2;2]$. Determinare $F\left(2\right)$ e tracciare un grafico di $F$, dopo averne studiato monotonia e concavità. Scrivere, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico di $F$ nel suo punto di flesso.

$$\begin{gathered} 8. \text{Stabilire quali affermazioni sono vere per ogni f continua e derivabile:} \\ 1. A\Rightarrow B \left(\text{Massimo/Minimo implica derivata nulla}\right) \end{gathered}$$

$7. \text{Calcolare }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\int }_1^x(t^2-1)e^{2t}\mathrm{dt}}{(x-1{)}^2}$

$6. \text{Scrivere una funzione polinomiale y=p(x) di terzo grado che si annulli solo per x=0 e per x=3, il cui grafico sia tangente all'asse x in un punto e passi per P(1,-4). Determinare l'area della regione piana limitata compresa tra l'asse x ed il grafico.}$

$5. \text{Determinare il valore del parametro reale k in modo che la retta di equazione cartesiana }y=x-2\text{ risulti tangente alla curva }y=x^3+kx.$

$4. \text{Una sfera, di raggio }r\text{ fissato, è inscritta nel cono S di volume minimo. Qual è la distanza del vertice del cono dalla superficie della sfera?}$

$3. \text{Determina le equazioni delle superfici sferiche di raggio }r=5\sqrt{2}\text{ tangenti in P(-1,2,3) al piano 3x+4y-5z+10=0.}$

$2. \text{Un dado regolare a 6 facce viene lanciato 8 volte. Qual è la probabilità di ottenere tre volte la faccia "5"? Qual è la probabilità di ottenere la faccia "5" per la terza volta all'ottavo lancio?}$

$1. \text{Dato un triangolo ABC, sia P un punto del lato BC e siano G' e G'' i baricentri dei triangoli ABP e ACP. Dimostrare che il segmento G'G'' è parallelo a BC.}$

$8. \text{Indicare quali tra le seguenti affermazioni non costituisce un teorema. Spiegare con controesempi.}$

$7. \text{Determinare il dominio della funzione }f\left(x\right)=\frac{x |x+1|}{x^3-x}\text{ e stabilire la tipologia delle sue discontinuità.}$

$6. \text{Si consideri la funzione }F\left(x\right)={\int }_{-2}^{x}f\left(t\right)dt\text{ con }x\in [-2;5]. \text{Calcolare }F(-2), F\left(2\right), F\left(3\right) \text{e }F\left(5\right).$

$5. \text{Determina l'equazione della funzione dispari che ha un solo flesso a tangente orizzontale e la cui derivata seconda è }f\text{'}\text{'}=-10x^3+12x.$

$4. \text{Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata di diagonale fissata }d\text{, dimostrare che il cubo è quello di volume massimo.}$

$3. \text{Assegnate le rette }r, s,\text{ determinare l'equazione cartesiana del piano }\pi \text{ contenente }r\text{ e parallelo ad }s.$

$2. \text{Una classe è formata da 18 studenti; durante la lezione di musica, vengono creati (in modo completamente casuale) tre gruppi formati rispettivamente da 5, 6 e 7 studenti. Se Alice, Barbara e Chiara sono tre studentesse della classe, determinare la probabilità che solo due di loro facciano parte di uno stesso gruppo.}$

$1. \text{Nel triangolo }ABC\text{, l'ampiezza di uno dei tre angoli è la metà di un secondo angolo del triangolo ed è pari al triplo del terzo angolo. Detti }A\text{'}, B\text{'}, C\text{'}\text{ i punti di tangenza tra i lati di }ABC\text{ ed il suo cerchio inscritto, determinare le ampiezze degli angoli del triangolo }A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$

$8. \text{Data }{f}_a\left(x\right)=x^5-5ax+a, \text{stabilire per quali }a>0\text{ possiede tre zeri reali distinti.}$

$7. \text{Si consideri la funzione }f\left(x\right)\text{ definita a tratti. Determinare }a,b\text{ per la derivabilità. Stabilire se soddisfa Rolle.}$

$6. \text{Determinare i valori dei parametri reali a e b affinché: }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen} x-(a{x}^3+bx)}{x^3}=1$

$5. \text{Determinare l'equazione della retta tangente alla curva di equazione }y=\sqrt{25-x^2}\text{ nel suo punto di ascissa 3, utilizzando due metodi diversi.}$

$4. \text{Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume }V\text{, stabilire se quello di area totale minima ha anche diagonale di lunghezza minima.}$

$3. \text{Considerata la retta }r\text{ passante per i due punti }A(1,-2,0)\text{ e }B(2,3,-1),\text{ determinare l'equazione cartesiana della superficie sferica di centro }C(1,-6,7)\text{ e tangente a }r.$

$$\begin{gathered} 2. \text{Un dado truccato, con le facce numerate da 1 a 6, gode della proprietà di avere ciascuna faccia pari che si presenta con probabilità doppia rispetto a ciascuna faccia dispari. Calcolare le probabilità di ottenere, lanciando una volta il dado, rispettivamente:} \\ - \text{un numero primo} \\ - \text{un numero almeno pari a 3} \\ - \text{un numero al più pari a 3} \end{gathered}$$

$1. \text{Sia }ABC\text{ un triangolo rettangolo in }A. \text{Sia }O\text{ il centro del quadrato }BCDE\text{ costruito sull'ipotenusa, dalla parte opposta al vertice }A. \text{Dimostrare che }O\text{ è equidistante dalle rette }AB\text{ e }AC.$

$8.\text{ Scrive Leonardo Sinisgalli, in un brano tratto da }\mathrm{Furor Mathematicus}:\text{ «Avevo in mente un capitolo sulle leggi del caso: volevo trovare le parentele tra il triangolo di Tartaglia, relativo ai coefficienti del polinomio }(a+b{)}^n\text{ e il triangolo aritmetico di Pascal, che ci dà la probabilità di fare }m\text{ volte croce in }n\text{ partite giocate a testa e croce». Descrivere il legame esistente tra i coefficienti binomiali ed il calcolo delle probabilità.}$

$7.\text{ Un resistore di resistenza }R\text{ è percorso da una corrente variabile nel tempo di intensità }I\left(t\right)=I_0\frac{a}{t},\text{ con }t>0\text{ e le costanti positive }{I}_0\text{ e }a\text{ espresse, rispettivamente, in ampère e in secondi. Sapendo che la potenza dissipata nel resistore per effetto Joule è }P\left(t\right)={\mathrm{RI}}^2\left(t\right),\text{ determinarne il valore medio nell'intervallo }[2a;3a].$

$6.\text{ In un sistema di assi cartesiani }\mathrm{Oxy},\text{ si consideri l'iperbole equilatera di equazione }\mathrm{xy}=k,\text{ con }k\text{ parametro reale non nullo. Sia }t\text{ la retta tangente all'iperbole in un suo punto }P.\text{ Detti }A\text{ e }B\text{ i punti in cui }t\text{ interseca gli assi del riferimento, dimostrare che i triangoli }\mathrm{APO}\text{ e }\mathrm{BPO}\text{ sono equivalenti e che la loro area non dipende dalla scelta di }P.$

$5.\text{ Determinare i valori dei parametri reali }a\text{ e }b\text{ della funzione }f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+3}{2x^2+5x-1}\text{ in modo che essa abbia la retta }y=2\text{ come asintoto orizzontale e un punto stazionario per }x=1.\text{ In corrispondenza dei valori trovati, stabilire se }f\left(x\right)\text{ presenta ulteriori asintoti.}$

$4.\text{ Determinare il dominio della funzione }f\left(x\right)=\ln \left(\frac{\mathrm{ax}-7}{x^2}\right),\text{ con }a\text{ parametro reale positivo. Successivamente, individuare il valore di }a\text{ in corrispondenza del quale risultano soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo }[1;7]\text{ e le coordinate del punto che ne verifica la tesi.}$

$3.\text{ Verificare che i punti }O(0,0,0),A(1,4,8),B(-6,0,12)\text{ e }C(-7,-4,4)\text{ sono complanari. Calcolare area e perimetro del quadrilatero }\mathrm{OABC}\text{ e classificarlo.}$

$$\begin{gathered} 2.\text{ In un salvadanaio ci sono 15 monete, di cui 9 sono da 1 euro e le altre 6 da 2 euro. Se ne estraggono 6 contemporaneamente.} \\ -\text{ Qual è la probabilità che il valore totale delle monete estratte sia esattamente 10 euro?} \\ -\text{ Qual è la probabilità che il valore totale delle monete estratte sia al massimo 10 euro?} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1.\text{ È dato un triangolo }\mathrm{ABC}\text{ di lati }\mathrm{AB}=a\text{ e }\mathrm{BC}=\sqrt{3}a.\text{ Quale delle seguenti affermazioni è corretta?} \\ -\text{ Se }A\hat{C}B=\frac{\pi }{6},\text{ allora il triangolo è rettangolo;} \\ -\text{ Se il triangolo è rettangolo, allora }A\hat{C}B=\frac{\pi }{6}. \\ \text{Motivare le risposte.} \end{gathered}$$

$8.\text{Paolo Giordano scrive: «I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per sé stessi...». Si considerino}f\left(x\right)=x^{p-1}\text{e la derivata}{f}^{p-1}.\text{Dimostrare che se}p\text{è primo, allora}p\text{divide}{f}^{p-1}+1.\text{Verificare per primi}<10.$

$7.\text{In un sistema}\mathrm{Oxy},\text{l'equazione}\mathrm{xy}=k\text{rappresenta un'iperbole equilatera. Si dimostri che le rette tangenti nei suoi vertici sono perpendicolari alle bisettrici dei quadranti.}$

$6.\text{Determinare l'equazione di una funzione polinomiale di primo grado}y=f\left(x\right)\text{tale che i)}{\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{dx}=1;\text{ii)}{\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{dx}=2.$

$5.\text{Individuare e classificare i punti in cui la funzione}f\left(x\right)=|x-1|+\sqrt[3]{x^3+x^2}\text{è continua ma non derivabile.}$

$4.\text{Determinare il valore del parametro reale}k>1\text{in modo che il valore medio della funzione}f\left(x\right)=\ln \left(x^3\right)+\frac{3x-3}{x}\text{sull'intervallo [1, k] sia uguale a}1-\ln (5/2).$

$3.\text{Il centro di una superficie sferica S è il punto di intersezione tra la retta r individuata dalle equazioni {x+y-2z=0, 3x+2y-1=0} e la retta t passante per i punti A(-2,3,0) e B(2,-1,2). La superficie S è inoltre tangente al piano α di equazione 4x-2y-4z+1=0. Qual è l'equazione di S?}$

$2.\text{Lanciando due dadi regolari a sei facce, qual è la probabilità di: - ottenere somma 10; - ottenere per somma un numero multiplo di 2 o di 3; - ottenere per somma un numero multiplo di 2 e di 3.}$

$1.\text{Sia data una circonferenza}\Gamma \text{e siano}A\hat{C}B\text{e}A\hat{D}B\text{angoli alla circonferenza che insistono sull'arco}\mathrm{AB},\text{con}\mathrm{AC}\text{parallelo a}\mathrm{DB}.\text{Detto}O\text{il punto di intersezione di}\mathrm{BC}\text{e}\mathrm{AD},\text{dimostrare che i triangoli}\mathrm{ACO}\text{e}\mathrm{BOD}\text{sono isosceli e simili fra loro.}$

$8.\text{Gadda descrive mattonelle esagonali (apotema}5.196\text{cm, raggio}60\text{mm). Relazione raggio-apotema, pavimentazione e poligoni regolari.}$

$7.\text{La Terra ha afelio a}1.52·{10}^{11}\text{m e perielio a}1.47·{10}^{11}\text{m. Determinare l'equazione della traiettoria ellittica.}$

$6.\text{Data}F\left(x\right)={\int }_a^x\frac{\cos (1/t)}{t^2}\mathrm{dt}\text{, determinare il più grande}a>0\text{tale che}F(2/\pi )=-1/2.$

$5.\text{Determinare la funzione polinomiale}y=p\left(x\right)\text{di quarto grado tangente all'asse}x\text{nell'origine, passante per (1,0) e con punto stazionario in (2,-2).}$

$4.\text{Dimostrare che l'equazione}{x}^3+x-\cos x=0\text{ammette un'unica soluzione positiva.}$

$3.\text{Nello spazio}\mathrm{Oxyz}\text{, è dato il piano}\pi :3x-2y+5=0.\text{Determinare}H\text{(proiezione di}P(4,2,1)\text{) e l'intersezione della retta}s:\{x-y+1=0,z-2=0\}\text{con}\pi .$

$2.\text{Si lancia 5 volte una moneta truccata che dà testa con probabilità}p.\text{Qual è la probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte? Per quale valore di}p\text{tale probabilità è massima?}$

$1.\text{ È dato un triangolo}\mathrm{ABC}\text{, rettangolo in}B.\text{Dimostrare che tale triangolo è isoscele se e solo se l'altezza}\mathrm{BH}\text{relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.}$

$8.\text{ Dimostrare che la curva di equazione}y=\frac{2x+1}{x^2+x}\text{è simmetrica rispetto al suo punto di flesso.}$

$7.\text{ Data la funzione}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}2e{x}^2-x+a& x\le 1\\ {\mathrm{bx}}^2+x+2& x>1\end{array}\text{, determinare il valore dei parametri reali}a,b\text{affinché la funzione sia continua e derivabile in tutto}ℝ.$

$6.\text{ Sia}\gamma \text{il grafico rappresentativo della curva di equazione}\mathrm{xy}=3.\text{ Determinare le coordinate del punto in cui la retta di equazione}y=3x-8\text{è normale a}\gamma .$

$5.\text{ Si consideri la famiglia di funzioni}{f}_k\left(x\right)=\ln (1-kx)+k{x}^2,\text{dove}k\text{è un parametro reale non nullo. Determinare il valore di}k\text{in modo che il grafico della funzione abbia un punto di flesso a tangente orizzontale.}$

$4.\text{ Mostrare che, nello spazio tridimensionale, il piano di equazione}x+2y-3z-7=0\text{è tangente alla superficie sferica}S\text{di equazione}{x}^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-8=0\text{e stabilire le coordinate del punto di tangenza}T.\text{Scrivere, inoltre, l'equazione di una retta che sia tangente alla superficie}S\text{nel punto}T.$

$3.\text{ Quanti sono i numeri naturali di tre cifre tali che la cifra "8" compare almeno una volta? Quanti quelli in cui la cifra "0" compare almeno una volta?}$

$2.\text{ Un'urna contiene}16\text{ palline, numerate da 1 a 16. Vengono estratte in blocco}5\text{ palline dall'urna; qual è la probabilità che il numero più grande tra quelli usciti sia maggiore di 9?}$

$1.\text{ Determinare il perimetro e l'area di un poligono regolare di lato}4\text{ cm, sapendo che gli angoli interni sono ampi}150°.$

8.Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “STUDIARE”? In quanti di tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola “ARTE”, come ad esempio in “SUARTEDI”? Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “VACANZA”?

7.“Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com’erano stati predetti dag’indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può ottenere il “colpo di Venere” lanciando a caso quattro dadi [...]”. Cicerone, De divinatione, II, 21, 48 - traduzione e cura di S. Timpanaro, Garzanti, Milano 1999. Testo originale - Nam cum mihi quaedam casu viderentur sic evenire ut praedicta essent a divinantibus, dixisti multa de casu, ut Venerium iaci posse casu quattuor talis iactis [...]. Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare 4 dadi a 4 facce ottenendo 4 risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano equiprobabili, determinare:

• la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di 4 dadi;
• la probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali.

6.Scrivere una funzione polinomiale $f$ in modo tale che la retta di equazione $y=2x+3$ sia tangente al grafico di $f$ nel suo punto di ascissa 0 e si abbia ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=9$.

5.Determinare il valore del parametro reale $k$ in modo che le due curve $y=e^x$, $y=6-k{e}^{-x}$ risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.

4.Assegnata una funzione $g$, derivabile in $ℝ$ e tale che $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=g^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=2$, determinare l’equazione della retta normale alla curva $y=g\left(x\right){\mathrm{sen}}^{2}x$ nel suo punto di ascissa $\frac{\pi }{4}$.

3.L’opera futurista di Boccioni “Forme uniche della continuità nello spazio” del 1913, riportata sulla moneta da 20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio. Una parte del profilo evidenziato in figura, in un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla funzione

Tracciare il grafico di $f$, dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell’intervallo $[-1;2]$.

2.Si considerino la superficie sferica di equazione $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=1$ e il piano $\pi$ di equazione $x-2y-2z+d=0$. Discutere, al variare del parametro reale $d$, se il piano $\pi$ è secante, tangente o esterno alla superficie sferica. Determinare il valore del parametro $d$ in modo che $\pi$ divida la sfera in due parti uguali.

1.Dato un triangolo $ABC$, sia $M$ il punto medio del lato $BC$ e siano $B\text{'}$ e $C\text{'}$ due punti, rispettivamente, sul lato $AB$ e sul lato $AC$, in modo tale che $AB\text{'}=\frac{1}{3}AB$ e $AC\text{'}=\frac{1}{3}AC$. Dimostrare che, se i segmenti $MB\text{'}$ e $MC\text{'}$ sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati $AB$ e $AC$.