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$6.\text{ In un sistema di assi cartesiani }\mathrm{Oxy},\text{ si consideri l'iperbole equilatera di equazione }\mathrm{xy}=k,\text{ con }k\text{ parametro reale non nullo. Sia }t\text{ la retta tangente all'iperbole in un suo punto }P.\text{ Detti }A\text{ e }B\text{ i punti in cui }t\text{ interseca gli assi del riferimento, dimostrare che i triangoli }\mathrm{APO}\text{ e }\mathrm{BPO}\text{ sono equivalenti e che la loro area non dipende dalla scelta di }P.$

Soluzione

$P(x_0,k/x_0).\text{ Retta }t:y-\frac{k}{x_0}=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0)\Rightarrow A(2x_0,0),B(0,2k/x_0).\text{ Area }\mathrm{AOB}=2\left|k\right|\Rightarrow {\text{Area}}_{\mathrm{APO}}={\text{Area}}_{\mathrm{BPO}}=\left|k\right|.$