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$1. \text{Sia }ABC\text{ un triangolo rettangolo in }A. \text{Sia }O\text{ il centro del quadrato }BCDE\text{ costruito sull'ipotenusa, dalla parte opposta al vertice }A. \text{Dimostrare che }O\text{ è equidistante dalle rette }AB\text{ e }AC.$

Soluzione

$$\begin{gathered} \text{Sia }A\text{ l'origine }(0,0), AB\text{ su asse }x\text{ e }AC\text{ su asse }y. \\ B=(b,0), C=(0,c).\text{ Il punto medio di }BC\text{ è }M=(b/2, c/2). \\ \text{Il vettore }\overrightarrow{MC}=(-b/2, c/2).\text{ Il centro }O\text{ si ottiene ruotando }\overrightarrow{MC}\text{ di }90°: \\ \overrightarrow{MO}=(c/2, b/2)\Rightarrow O=M+\overrightarrow{MO}=(\frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2}). \\ \text{Le distanze di }O\text{ dagli assi sono uguali a }\frac{b+c}{2}. \end{gathered}$$