Domanda #70 - QuizBase

2023 Quesito

$4 . Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume V, stabilire se quello di area totale minima ha anche diagonale di lunghezza minima.$

Soluzione

Sia x il lato della base e h = \frac{V}{x^{2}} l'altezza. 1) Area totale: S (x) = 2 x^{2} + 4 x h = 2 x^{2} + \frac{4 V}{x} . S' (x) = 4 x - \frac{4 V}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = V \Rightarrow x = \sqrt[3]{V} . Se x = \sqrt[3]{V}, allora h = \frac{V}{V^{2 / 3}} = \sqrt[3]{V} (cubo). 2) Diagonale: d = \sqrt{2 x^{2} + h^{2}} . Minimizziamo f (x) = 2 x^{2} + \frac{V^{2}}{x^{4}} . f' (x) = 4 x - \frac{4 V^{2}}{x^{5}} = 0 \Rightarrow x^{6} = V^{2} \Rightarrow x = \sqrt[3]{V} . Sì, entrambi i minimi si hanno quando il solido è un cubo.

Derivate Geometria solida Ottimizzazione

Segnala Errore