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$8. \text{Data }{f}_a\left(x\right)=x^5-5ax+a, \text{stabilire per quali }a>0\text{ possiede tre zeri reali distinti.}$

Soluzione

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=5x^4-5a=0\Rightarrow x=\pm \sqrt[4]{a}. \\ \text{Massimo relativo in }{x}_1=-\sqrt[4]{a},\text{ Minimo in }{x}_2=\sqrt[4]{a}. \\ \text{Per avere 3 zeri: }f\left(x_1\right)>0\text{ e }f\left(x_2\right)<0. \\ f\left(\sqrt[4]{a}\right)=a\sqrt[4]{a}-5a\sqrt[4]{a}+a=a(1-4\sqrt[4]{a})<0\Rightarrow \sqrt[4]{a}>\frac{1}{4}\Rightarrow a>\frac{1}{256}. \\ f(-\sqrt[4]{a})=a(4\sqrt[4]{a}+1)>0\text{ (sempre vero per }a>0). \end{gathered}$$