QuizBase

$1. \text{Nel triangolo }ABC\text{, l'ampiezza di uno dei tre angoli è la metà di un secondo angolo del triangolo ed è pari al triplo del terzo angolo. Detti }A\text{'}, B\text{'}, C\text{'}\text{ i punti di tangenza tra i lati di }ABC\text{ ed il suo cerchio inscritto, determinare le ampiezze degli angoli del triangolo }A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$

Soluzione

$$\begin{gathered} \text{Siano }\alpha , \beta , \gamma \text{ gli angoli di }ABC.\text{ Dalle condizioni: }\alpha =\frac{1}{2}\beta \text{ e }\alpha =3\gamma . \\ \beta =2\alpha , \gamma =\frac{1}{3}\alpha .\text{ Somma: }\alpha +2\alpha +\frac{1}{3}\alpha =\pi \Rightarrow \frac{10}{3}\alpha =180°\Rightarrow \alpha =54°. \\ \text{Angoli }ABC: \alpha =54°, \beta =108°, \gamma =18°. \\ \text{Gli angoli del triangolo tangenziale }A\text{'}B\text{'}C\text{'}\text{ sono }90°-\frac{\alpha }{2}, 90°-\frac{\beta }{2}, 90°-\frac{\gamma }{2}. \\ \text{Angoli }A\text{'}B\text{'}C\text{'}: 63°, 36°, 81°. \end{gathered}$$