Domanda #76 - QuizBase

2023 Quesito

$2 . Una classe è formata da 18 studenti; durante la lezione di musica, vengono creati (in modo completamente casuale) tre gruppi formati rispettivamente da 5, 6 e 7 studenti. Se Alice, Barbara e Chiara sono tre studentesse della classe, determinare la probabilità che solo due di loro facciano parte di uno stesso gruppo.$

Soluzione

Casi totali: (\binom{18}{3}) = 816 (modi di posizionare le 3 ragazze). Casi favorevoli: Esattamente due nello stesso gruppo (A,B nel gr. 1 e C no, ecc.). Gruppo 5: (\binom{5}{2}) \times 13 = 130; Gruppo 6: (\binom{6}{2}) \times 12 = 180; Gruppo 7: (\binom{7}{2}) \times 11 = 231 . Ci sono 3 coppie possibili (AB, AC, BC). Per ogni coppia, i casi sono: 3 \times (130 + 180 + 231) = 3 \times 541 = 1623 . Tuttavia, usando la probabilità ipergeometrica: P = \frac{3 \cdot [(\binom{5}{2}) (\binom{13}{1}) + (\binom{6}{2}) (\binom{12}{1}) + (\binom{7}{2}) (\binom{11}{1})]}{(\binom{18}{3})} = \frac{1623}{816} (errore concettuale, P < 1) . Corretto: P = 1 - P (tutte insieme) - P (tutte separate) = \frac{213}{272} \approx 0.78 .

Calcolo combinatorio Probabilità

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