Domanda #78 - QuizBase

2023 Quesito

$4 . Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata di diagonale fissata d, dimostrare che il cubo è quello di volume massimo.$

Soluzione

Lati: x, x, h . Vincolo: 2 x^{2} + h^{2} = d^{2} \Rightarrow h^{2} = d^{2} - 2 x^{2} . Volume: V = x^{2} h . Massimizziamo V^{2} = x^{4} (d^{2} - 2 x^{2}) = d^{2} x^{4} - 2 x^{6} . \frac{d (V^{2})}{d x} = 4 d^{2} x^{3} - 12 x^{5} = 0 \Rightarrow 4 x^{3} (d^{2} - 3 x^{2}) = 0 . x = \frac{d}{\sqrt{3}} . Sostituendo in h : h^{2} = d^{2} - 2 \frac{d^{2}}{3} = \frac{d^{2}}{3} \Rightarrow h = \frac{d}{\sqrt{3}} . Poiché x = h, il solido è un cubo.

Derivate Geometria solida Ottimizzazione

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