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$7. \text{Determinare il dominio della funzione }f\left(x\right)=\frac{x |x+1|}{x^3-x}\text{ e stabilire la tipologia delle sue discontinuità.}$

Soluzione

$$\begin{gathered} \text{Dominio: }{x}^3-x\ne 0\Rightarrow x(x^2-1)\ne 0\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}. \\ • x=0: \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left|1\right|}{x(x^2-1)}=-1\text{ (III specie/eliminabile).} \\ • x=-1: \underset{x\to -1}{\lim }\frac{-1|x+1|}{-1(x-1)(x+1)}=\pm \frac{1}{2}\text{ (I specie/salto).} \\ • x=1: \underset{x\to 1}{\lim }\frac{2}{0\pm }=\pm \infty \text{ (II specie/infinito).} \end{gathered}$$