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$1. \text{Dato un triangolo ABC, sia P un punto del lato BC e siano G' e G'' i baricentri dei triangoli ABP e ACP. Dimostrare che il segmento G'G'' è parallelo a BC.}$

Soluzione

$$\begin{gathered} \text{Siano }{M}_1\text{ e }{M}_2\text{ i punti medi di BP e CP. Per la proprietà del baricentro:} \\ \overrightarrow{AG\text{'}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{M}_1}\text{ e }\overrightarrow{AG\text{'}\text{'}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{M}_2}. \\ \text{Quindi }\overrightarrow{G\text{'}G\text{'}\text{'}}=\overrightarrow{AG\text{'}\text{'}}-\overrightarrow{AG\text{'}}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A{M}_2}-\overrightarrow{A{M}_1})=\frac{2}{3}\overrightarrow{M_1{M}_2}. \\ \text{Poiché }{M}_1{M}_2\text{ giace su BC, allora G'G'' è parallelo a BC.} \end{gathered}$$