Domanda #86 - QuizBase

2023 Quesito

$4 . Una sfera, di raggio r fissato, è inscritta nel cono S di volume minimo. Qual è la distanza del vertice del cono dalla superficie della sfera?$

Soluzione

Siano R il raggio della base del cono e H la sua altezza. Dalla similitudine dei triangoli: \frac{R}{\sqrt{R^{2} + H^{2}}} = \frac{r}{H - r} \Rightarrow R^{2} = \frac{r^{2} H}{H - 2 r} . Volume: V (H) = \frac{1}{3} π R^{2} H = \frac{π}{3} \frac{r^{2} H^{2}}{H - 2 r} . V' (H) = 0 \Rightarrow 2 H (H - 2 r) - H^{2} = 0 \Rightarrow H^{2} - 4 r H = 0 \Rightarrow H = 4 r . La distanza del vertice dal centro della sfera è H - r = 3 r . La distanza dalla superficie della sfera è (H - r) - r = 2 r .

Derivate Geometria solida Ottimizzazione

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