QuizBase

$5. \text{Determinare il valore del parametro reale k in modo che la retta di equazione cartesiana }y=x-2\text{ risulti tangente alla curva }y=x^3+kx.$

Soluzione

$$\begin{gathered} \text{Sia }{x}_0\text{ il punto di tangenza. Devono valere due condizioni:} \\ 1) f\text{'}(x_0)=m_{retta}\Rightarrow 3x_0^2+k=1\Rightarrow k=1-3x_0^2. \\ 2) f\left(x_0\right)=y_{retta}\Rightarrow x_0^3+k{x}_0=x_0-2. \\ \text{Sostituiamo k nella seconda:} \\ {x}_0^3+(1-3x_0^2)x_0=x_0-2\Rightarrow x_0^3+x_0-3x_0^3=x_0-2 \\ -2x_0^3=-2\Rightarrow x_0=1. \\ \text{Troviamo k: }k=1-3(1{)}^2=-2. \end{gathered}$$