Domanda #88 - QuizBase

2023 Quesito

$6 . Scrivere una funzione polinomiale y=p(x) di terzo grado che si annulli solo per x=0 e per x=3, il cui grafico sia tangente all'asse x in un punto e passi per P(1,-4). Determinare l'area della regione piana limitata compresa tra l'asse x ed il grafico.$

Soluzione

Poiché si annulla solo in 0 e 3 ed è tangente all'asse x, uno degli zeri deve essere doppio. Caso A: y = a x^{2} (x - 3) . Passaggio per (1,-4): - 4 = a (1) (- 2) \Rightarrow a = 2 . Caso B: y = a x (x - 3)^{2} . Passaggio per (1,-4): - 4 = a (1) (4) \Rightarrow a = - 1 . Scegliamo Caso B (coerente con il segno): p (x) = - x (x - 3)^{2} = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x . Area: | \int_{0}^{3} (- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x) dx | = | {[- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2}]}_{0}^{3} | = | - \frac{81}{4} + 54 - \frac{81}{2} | = | \frac{- 81 + 216 - 162}{4} | = \frac{27}{4} = 6.75 .

Derivate Integrali

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