Domanda #91 - QuizBase

2025 Problema

«La ragione non è nulla senza l’immaginazione» - Cartesio.

Dati $r > 0$ e $k < 0$ , si considerino la circonferenza $C_{r}$ , di centro l’origine e raggio $r$ , e la funzione $f_{k} (x) = k | x |$ .

a) Verificare che $f_{k}$ è continua ma non derivabile in $x = 0$ qualunque sia il valore di $k$ . Individuare i due valori di $r$ in corrispondenza dei quali $C_{r}$ delimita con il grafico di $f_{k}$ , per opportuni valori di $k$ , un settore circolare nel semipiano $y \leq 0$ di area $π$ e contorno di lunghezza $4 + π$ . Stabilito che $r = 2$ è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento cartesiano $O x y$ , tracciare la circonferenza $C_{2}$ e il grafico della funzione $f_{- 1}$ .

b) Studiare la funzione $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ , specificandone dominio, simmetrie, punti di non derivabilità, intervalli di monotonia ed insieme immagine. Verificare che il grafico di $g$ coincide con la parte di $C_{2}$ che si trova nel semipiano $y \geq 0$ . Spiegare perché $g$ non è invertibile nel suo dominio ed esplicitare l'intervallo $[a; b]$ di ampiezza massima, con $b > 0$ , nel quale $g$ ammette una funzione inversa $h$ . Qual è l'espressione analitica di $h$ ?

c) Sia $A$ un punto del grafico di $g$ , situato nel I quadrante, e siano $M$ e $R$ le sue proiezioni ortogonali sugli assi del riferimento. Determinare le coordinate di $A$ in modo che il quadrilatero $A M O R$ abbia area massima. Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato, dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.

d) Si consideri la funzione $F (x) = \int_{- 2}^{x} \sqrt{4 - t^{2}} d t$ , con $x \in [- 2; 2]$ . Determinare $F (2)$ e tracciare un grafico di $F$ , dopo averne studiato monotonia e concavità. Scrivere, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico di $F$ nel suo punto di flesso.

Soluzione

Continuità: $lim_{x \to 0} k | x | = 0 = f (0)$ . Derivabilità: derivata sinistra $- k$ , destra $k$ ; per $k \neq 0$ punto angoloso. Settore: sistema $\frac{1}{2} r^{2} α = π$ e $2 r + r α = 4 + π$ porta a $r = 2$ (con $α = π / 2$ ) e $r = π / 2$ .

$D = [- 2, 2]$ , funzione pari, non derivabile in $x = - 2, 2$ . Crescente in $[- 2, 0]$ , decrescente in $[0, 2]$ . Non invertibile perché non monotona nel dominio. Intervallo max: $[0, 2]$ . Inversa: $h (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ con $x \in [0, 2]$ .

Area $S (x) = x \cdot \sqrt{4 - x^{2}}$ . $S^{'} (x) = 0 \Rightarrow 4 - 2 x^{2} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ . Ordinata $y = \sqrt{2}$ , quindi $A (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ (quadrato). Perimetro $P (x) = 2 (x + \sqrt{4 - x^{2}})$ ha massimo nello stesso punto.

$F (2)$ è l'area del semidisco di raggio 2: $F (2) = 2 π$ . $F^{'} (x) = \sqrt{4 - x^{2}} \geq 0$ (sempre crescente). $F^{''} (x) = - x / \sqrt{4 - x^{2}}$ : flesso in $x = 0$ . $F (0) = π$ , $F^{'} (0) = 2$ . Tangente: $y - π = 2 x$ .

Analisi Integrali Problemi di massimo e minimo

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